3x3 对称矩阵的基

3x3 矩阵的向量空间 M

所有实 3x3 矩阵构成一个向量空间 M，维数为 9。

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子空间：对称矩阵 S

矩阵 S 是对称的，当且仅当 $S^T = S$。

S 的一组基：6 个矩阵

$$S_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad S_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad S_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$S_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad S_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad S_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

• 三个对角矩阵：$\operatorname{diag}(1,0,0)$、$\operatorname{diag}(0,1,0)$、$\operatorname{diag}(0,0,1)$
• 三个非对角矩阵：在 $(i,j)$ 和 $(j,i)$ 位置为 1，其中 $i < j$
• S 的维数为 6
• 这些矩阵线性无关，并且它们的线性组合可以生成所有 3x3 对称矩阵

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子空间：反对称矩阵 AS

矩阵 A 是反对称的，也称斜对称的，当且仅当 $A^T = -A$。

性质

• 对角元必为零：$a_{ii} = -a_{ii}$ 蕴含 $a_{ii} = 0$
• 非对角元满足：当 $i \ne j$ 时，$a_{ij} = -a_{ji}$

3x3 反对称矩阵的一般形式为：

$$A = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{pmatrix}$$

三个自由参数 $a,b,c$ 给出维数 3。

AS 的一组基：3 个矩阵

$$A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

• AS 的维数为 3

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S 与 AS 共同构成全体 3x3 矩阵的基

每个 3x3 矩阵 M 都可以唯一分解为一个对称部分和一个反对称部分：

$$S = \frac{M + M^T}{2}, \qquad A = \frac{M - M^T}{2}$$

• S 是对称的：$S = S^T$
• A 是反对称的：$A = -A^T$
• M = S + A

合并后的基 $\{S_1, \ldots, S_6, A_1, A_2, A_3\}$ 包含 6 + 3 = 9 个元素，正好等于全体 3x3 矩阵空间的维数。

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示例：上三角全一矩阵

设 U 为一个 3x3 上三角矩阵，主对角线及以上所有元素均为 1：

$$U = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

分解为 S + AS

对称部分：$S = (U + U^T)/2$。

$$U^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U + U^T = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$S = \frac{U + U^T}{2} = \begin{pmatrix} 1 & \frac12 & \frac12 \\ \frac12 & 1 & \frac12 \\ \frac12 & \frac12 & 1 \end{pmatrix}$$

反对称部分：$A = (U - U^T)/2$。

$$U - U^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$A = \frac{U - U^T}{2} = \begin{pmatrix} 0 & \frac12 & \frac12 \\ -\frac12 & 0 & \frac12 \\ -\frac12 & -\frac12 & 0 \end{pmatrix}$$

验证：$U = S + A$。

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac12 & \frac12 \\ \frac12 & 1 & \frac12 \\ \frac12 & \frac12 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & \frac12 & \frac12 \\ -\frac12 & 0 & \frac12 \\ -\frac12 & -\frac12 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = U$$

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总结

子空间	维数	基元素
对称矩阵 S	6	$\operatorname{diag}(1,0,0)$, $E_{12}+E_{21}$, $E_{13}+E_{31}$, $\operatorname{diag}(0,1,0)$, $E_{23}+E_{32}$, $\operatorname{diag}(0,0,1)$
反对称矩阵 AS	3	$E_{12}-E_{21}$, $E_{13}-E_{31}$, $E_{23}-E_{32}$
全体 3x3 矩阵 M	9	S 与 AS 基的并集