线性代数 ZoomNotes

第 5 部分：方阵的行列式

5.1 三阶及 $n$ 阶行列式 (3 by 3 and $n$ by $n$ Determinants)

行列式 (determinant) 是与每个方阵相关联的一个数，它决定了该矩阵是可逆的 ($\det A \neq 0$) 还是奇异的 ($\det A = 0$)。

3x3 行列式（6 个带符号的项）(6 signed terms)：

$$\det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}$$

三个正项来自偶排列 (even permutations)（恒等置换、(1 2 3)、(1 3 2)），三个负项来自奇排列 (odd permutations)（(2 3)、(1 2)、(1 3)）。

行列式的三条定义性质 (Three Defining Properties of Determinants)：

1. 行交换变号 (Row exchange flips sign)： 交换两行，行列式改变符号。
2. 每行的线性性 (Linearity in each row)：
   • 将某一行乘以一个标量，行列式也乘以该标量。
   • 将两个仅在某一行不同的矩阵相加：行列式也相加。
3. $\det I = 1$

$n \times n$ 的大公式 (Big Formula for $n \times n$)：

$$\det A = \sum_{\text{permutations } P} (\det P) \, a_{1,\alpha_1} a_{2,\alpha_2} \cdots a_{n,\alpha_n}$$

共有 $n!$ 项。每一项从每一行和每一列中各选取一个元素，将其相乘，并为偶排列赋予 $+1$ 符号，为奇排列赋予 $-1$ 符号。

直接推论 (Immediate Consequences)：

• 若 $A$ 有一零行，则 $\det A = 0$
• 若有两行相同，则 $\det A = 0$
• 三角矩阵的行列式 = 对角线元素（主元 (pivots)）的乘积
• $\det A = 0$ 当且仅当 $A$ 是奇异的 (singular)

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5.2 余子式与 $A^{-1}$ 的公式 (Cofactors and the Formula for $A^{-1}$)

余子式 (Minor)： $M_{ij}$ 是移除第 $i$ 行和第 $j$ 列后所得 $(n-1) \times (n-1)$ 矩阵的行列式。

代数余子式 (Cofactor)：

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$$

代数余子式展开（沿第 1 行）(Cofactor Expansion along row 1)：

$$\det A = a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} + \cdots + a_{1n} C_{1n}$$

沿任意行或任意列展开均可得到相同结果。

通过代数余子式求逆的公式 (Inverse Formula via Cofactors)：

$$A^{-1} = \frac{(\text{cofactor matrix})^T}{\det A}$$

代数余子式矩阵（cofactor matrix，也称为伴随矩阵 (adjugate) 或 伴随 (adjoint)）在位置 $(i,j)$ 处放置 $C_{ij}$。其转置即为伴随矩阵 (adjugate matrix)。

对于 2x2 的情形：

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} \\ C_{12} & C_{22} \end{bmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

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5.3 $\det(AB) = (\det A)(\det B)$ 与克拉默法则 (Cramer's Rule)

乘积法则 (The Product Rule)：

$$\det(AB) = (\det A)(\det B)$$

这是行列式最重要的性质。

推论 (Corollaries)：

• $\det A^{-1} = 1/\det A$
• $\det(A^k) = (\det A)^k$
• 对于任意正交矩阵 $Q$，$\det(Q) = \pm 1$
• 对于三角矩阵 $U$，$\det(U) =$ 主元的乘积 ($\prod$ of pivots)

克拉默法则 (Cramer's Rule)： 用行列式解 $Ax = b$：

$$x_j = \frac{\det B_j}{\det A}$$

其中 $B_j$ 是将 $A$ 的第 $j$ 列替换为 $b$ 后得到的矩阵。

尽管在理论上很优美，但克拉默法则在计算上代价高昂（通过大公式需要 $O(n!)$ 次运算），在实际数值计算中从不使用。高斯消元法（$O(n^3)$）要高效得多。

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5.4 盒体的体积 = $|\det E|$，其中 $E$ 为边矩阵 (Edge Matrix)

几何解释 (Geometric Interpretation)： 行列式的绝对值等于由矩阵的列（或行）向量构成的平行六面体 (parallelepiped) 的体积 (volume)。

对于 2x2 矩阵 $A = [\mathbf{a}_1 \; \mathbf{a}_2]$：

$$|\det A| = \text{area of parallelogram formed by } \mathbf{a}_1 \text{ and } \mathbf{a}_2$$

对于 3x3 矩阵：

$$|\det A| = \text{volume of parallelepiped formed by } \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$$

边矩阵 $E$ (Edge Matrix $E$)： 若以向量 $\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n$ 作为平行六面体的边，则：

$$\text{Volume} = |\det(E)| \quad \text{where } E = [\mathbf{e}_1 \; \mathbf{e}_2 \; \cdots \; \mathbf{e}_n]$$

为什么 QR 分解使其更加清晰 (Why QR factorization makes this clear)： $A = QR$，其中 $Q$ 是正交矩阵 ($|\det Q| = 1$)，$R$ 是对角线上有主元的三角矩阵。其体积为 $|\det R| = |r_{11} r_{22} \cdots r_{nn}|$，即各底边长度与各垂直高度的乘积。

线性变换解释 (Linear Transformation Interpretation)： 当由矩阵 $A$ 表示的线性变换 $T$ 作用于一个区域时，体积乘以 $|\det A|$：

$$\text{Vol}(T(\Omega)) = |\det A| \cdot \text{Vol}(\Omega)$$

这便是多变量微积分中变量替换公式 (change-of-variables formula) 的基础。