MATLAB 教程

简介

MATLAB 始终与矩阵（matrix）打交道。少数几个基本命令即可让您创建向量（vector）和矩阵（matrix）、修改它们以及对其进行运算。

创建和使用矩阵 -- 快速示例

% Create the 3x3 identity matrix
E = eye(3)

输出结果：

[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]

% Pick out column 1
u = E(:, 1)

输出结果：

[1]
[0]
[0]

% Reset the (3,1) entry to 5
E(3, 1) = 5

输出结果：

[1 0 0]
[0 1 0]
[5 0 1]

% Multiply E and u
v = E * u

输出结果：

[1]
[0]
[5]

求逆矩阵与求解线性方程组

% Create a matrix: ones(3) + eye(3)
A = ones(3) + eye(3)

输出结果：

[2 1 1]
[1 2 1]
[1 1 2]

% b is the third column of A
b = A(:, 3)

输出结果：

[1]
[1]
[2]

% Compute the inverse
C = inv(A)

输出结果（通常为十进制；使用 format rat 可显示分数形式）：

[ 0.75  -0.25  -0.25]
[-0.25   0.75  -0.25]
[-0.25  -0.25   0.75]

% Solve Ax = b -- the slow way
x = inv(A) * b

% Solve Ax = b -- the fast way (backslash, uses Gaussian elimination, never computes inverse)
x = A \ b

两者均输出 x = [0; 0; 1]（因为 b 是 A 的第三列，解即为第三个标准基向量）。

当 A 为方阵时，\（反斜杠）运算符使用高斯消元（Gaussian elimination）且从不计算逆矩阵。

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注释

% The comment symbol is the percent sign
% The symbols a and A are different: MATLAB is case-sensitive

• 输入 help slash 可查看反斜杠符号的使用说明。help 后面可以跟 MATLAB 符号、命令名称或 M 文件名（M-file）。
• help 显示的命令名称为大写，但在实际使用中必须为小写。
• 当 A 不是方阵时，反斜杠 A \ b 的行为有所不同。
• 要显示全部 16 位数字，请键入 format long。默认的 format short 显示小数点后 4 位。
• 命令后的分号会抑制结果输出。例如，A = ones(3); 将不会显示 3x3 矩阵。
• 使用上箭头键可以返回到之前的命令。

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如何输入行向量或列向量

% Row vector (1x3 matrix)
u = [2 4 5]

% Column vector (3x1 matrix) -- semicolons separate rows
v = [2; 4; 5]

% Column vector -- transpose of a row vector
v = [2 4 5]'
v = u'

% Row vector with unit steps using the colon operator
w = 2:5    % produces w = [2 3 4 5]

% Row vector with custom step size
u = 1:2:7  % produces u = [1 3 5 7]

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如何输入矩阵（逐行输入）

% Semicolon separates rows
A = [1 2 3; 4 5 6]

输出结果：

[1 2 3]
[4 5 6]

% Multi-line input also works
A = [1 2 3
     4 5 6]

% Transpose
B = [1 2 3; 4 5 6]'   % A^T is A' in MATLAB

输出结果：

[1 4]
[2 5]
[3 6]

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如何创建特殊矩阵

% Diagonal matrix from a vector
diag(v)           % Diagonal matrix with vector v on its diagonal

% Toeplitz matrices
toeplitz(v)       % Symmetric constant-diagonal matrix with v as first row and first column
toeplitz(w, v)    % Constant-diagonal matrix with w as first column and v as first row

% Matrices of ones and zeros
ones(n)           % n x n matrix of ones
zeros(n)          % n x n matrix of zeros

% Identity matrix
eye(n)            % n x n identity matrix

% Random matrices
rand(n)           % n x n matrix with random entries between 0 and 1 (uniform distribution)
randn(n)          % n x n matrix with normally distributed entries (mean 0, variance 1)

% Rectangular matrices
ones(m, n)        % m x n matrix of ones
zeros(m, n)       % m x n matrix of zeros
rand(m, n)        % m x n matrix with random uniform entries

% Same shape as an existing matrix A
ones(size(A))
zeros(size(A))
eye(size(A))

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如何修改给定矩阵 A 中的元素

% Reset a single entry
A(3, 2) = 7       % Sets the (3,2) entry to 7

% Reset an entire row
A(3, :) = v       % Sets the third row to vector v

% Reset an entire column
A(:, 2) = w       % Sets the second column to vector w

% The colon (:) stands for "all" (all columns or all rows)

% Exchange rows
A([2 3], :) = A([3 2], :)   % Swaps rows 2 and 3

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如何创建 m x n 矩阵 A 的子矩阵

命令	结果
A(i, j)	第 $i,j$ 个元素（标量，即 1x1 矩阵）
A(i, :)	第 i 行（行向量形式）
A(:, j)	第 j 列（列向量形式）
A(2:4, 3:7)	第 2 至 4 行和第 3 至 7 列（3x5 矩阵）
A([2 4], :)	第 2 和 4 行，所有列（2 x n 矩阵）
A(:)	由 A 的所有列连接而成的一个长列（mn x 1 矩阵）
triu(A)	上三角部分（将主对角线以下的元素置零）
tril(A)	下三角部分（将主对角线以上的元素置零）

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矩阵乘法与求逆

命令	描述
A * B	矩阵乘积 AB（如果维度兼容）
A .* B	逐元素乘积（element-wise product）（如果 size(A) == size(B)）
inv(A)	逆矩阵（inverse）A^(-1)，如果 A 是方阵且可逆
pinv(A)	A 的伪逆（pseudoinverse）
A \ B	左除（left division）-- 计算 inv(A) * B 而不显式求逆
x = A \ b	求解 Ax = b（如果 inv(A) 存在，使用高斯消元）

重要提示：当 A 为矩形矩阵时，请参见 help slash 了解详情。

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与 A 相关的数值与矩阵

命令	描述
det(A)	行列式（determinant）（如果 A 是方阵）
rank(A)	秩（rank）（主元个数 = 行空间和列空间的维数）
size(A)	返回 [m n] -- A 的维度
trace(A)	迹（trace）= 对角线元素之和 = 特征值之和
null(A)	一个矩阵，其 n - r 列构成 A 的零空间（nullspace）的一组正交基
orth(A)	一个矩阵，其 r 列构成 A 的列空间（column space）的一组正交基

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示例

% Elementary elimination matrix
E = eye(4);
E(2, 1) = -3;
% E * A subtracts 3 times row 1 of A from row 2

% Augmented matrix
B = [A b];    % Creates the augmented matrix with b as an extra column

% Permutation matrix
E = eye(3);
P = E([2 1 3], :);   % Creates a permutation matrix

% Identity: triu(A) + tril(A) - diag(diag(A)) equals A

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用于矩阵分解的内置 M 文件（全部重要！）

% LU decomposition: PA = LU
[L, U, P] = lu(A)

% Eigenvalues
e = eig(A)              % Returns a vector containing the eigenvalues of A

% Eigenvalues and eigenvectors: AS = SE
[S, E] = eig(A)         % E is a diagonal eigenvalue matrix, S is the eigenvector matrix
                        % If A is not diagonalizable (too few eigenvectors), S is not invertible

% QR decomposition: A = QR
[Q, R] = qr(A)          % Q is an m x m orthogonal matrix, R is an m x n triangular matrix

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创建 M 文件

M 文件是以 .m 结尾的文本文件，MATLAB 将其用于函数（function）和脚本（script）。

• 脚本 是在 MATLAB 提示符下键入文件名时执行的一系列命令。MATLAB 的演示程序就是脚本的示例（例如名为 house 的演示）。
• MATLAB 的大多数内置函数实际上是 M 文件，可以通过键入 type xxx（其中 xxx 是函数名）来查看。
• 要编写自己的脚本或函数，创建一个文件名以 .m 结尾的新文本文件。
• 脚本文件就是 MATLAB 命令的列表。
• 要使 M 文件成为函数，它必须以关键字 function 开头，后跟方括号中的输出变量、函数名和输入变量。

示例 1：mult.m

function [C] = mult(A)
r = rank(A);
C = A' * A;

保存为 mult.m。此函数接受矩阵 A 并仅返回矩阵乘积 C。变量 r 不会被返回，因为它未被列为输出变量。分号会抑制 MATLAB 窗口中的输出 -- 在处理大型矩阵时非常有用。

示例 2：properties.m

function [V, D, r] = properties(A)
% This function finds the rank, eigenvalues and eigenvectors of A
[m, n] = size(A);
if m == n
    [V, D] = eig(A);
    r = rank(A);
else
    disp('Error: The matrix must be square');
end

此函数以矩阵 A 为输入，返回特征向量矩阵、特征值矩阵和秩作为输出。% 用于注释。该函数检查输入矩阵是否为方阵。

• 键入 properties(A) 仅返回第一个输出 V（特征向量矩阵）。
• 必须键入 [V, D, r] = properties(A) 才能获得所有三个输出。

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记录工作日志

diary('filename')    % Records everything in the MATLAB window to a text file
diary on             % Start recording
diary off            % Stop recording

旧的工作日志文件可以使用文本编辑器查看，在 Unix 中使用 lpr 打印，或在 MATLAB 中使用 type filename 命令查看。

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保存变量和矩阵

diary 命令会保存命令和输出，但不会保存变量和矩阵的内容。

whos                 % Lists all variables and their matrix sizes
save('xxx')          % Saves all variables into file xxx.mat (MATLAB adds .mat extension)
load xxx             % Loads variables from xxx.mat back into MATLAB

.mat 文件不同于 .m 文件（后者是脚本或函数）。

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图形

基本绘图

plot(x, y)           % Plots points (xi, yi) connected by solid lines

• x 和 y 必须是长度相同的向量。
• 如果未提供 x 向量，MATLAB 默认 x(i) = i。因此 plot(y) 在 x 轴上等间距取点：点为 (i, y(i))。

线型和颜色

线条的类型和颜色可以通过第三个参数改变。默认是黑色实线。

% MATLAB 5: red + markers and dotted line
plot(x, y, 'r+:')

% MATLAB 4: dashed line
plot(x, y, '--')

% MATLAB 4: dotted line
plot(x, y, ':')

离散点（无线条）

plot(x, y, 'o')      % Circles
plot(x, y, '+')      % Plus signs
plot(x, y, '*')      % Stars
plot(x, y, '.')      % Dots

多图叠加

% Two graphs on the same axes
plot(x, y, X, Y)

对数坐标

loglog(x, y)         % Both axes logarithmic
semilogy(x, y)       % y-axis logarithmic
semilogx(x, y)       % x-axis logarithmic

坐标轴缩放与标签

axis([a b c d])      % Scales graph to rectangle: a <= x <= b, c <= y <= d
title('Height of Satellite')
xlabel('Time in seconds')
ylabel('Height in meters')

Hold 命令

hold                 % Keeps the current graph while plotting a new one
                     % Repeating hold clears the screen

打印与保存

print -Pprintername  % Send to printer
print -d filename    % Save graphics window to a file

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本文基于 MIT 18.06 线性代数课程，2010 年春季学期的 MATLAB 教程。