线性代数 ZoomNotes

第 8 部分：线性变换及其矩阵

8.1 线性变换的例子

线性变换 (linear transformation) $T: V \to W$ 满足：

$$T(c\mathbf{v} + d\mathbf{w}) = cT(\mathbf{v}) + dT(\mathbf{w})$$

关键要求： $T(0) = 0$ (由线性性质推得).

线性变换的例子：

1. $\mathbb{R}^2$ 中转角为 $\theta$ 的旋转 (rotation): $T(x,y) = (x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)$

2. 关于一条直线的反射 (reflection)

3. 到子空间上的投影 (projection)

4. 矩阵的对角化 (diagonalization of matrices) (相似变换 $T(A) = B^{-1}AB$)

5. 多项式的导数： $T(p) = dp/dt$, 将 $n$ 次多项式映射为 $n-1$ 次多项式

6. 积分： $T(f) = \int_0^x f(t) dt$, 将 $n$ 次多项式映射为 $n+1$ 次多项式

复合： 若 $T: V \to W$ 和 $S: W \to Z$ 是线性变换，则 $S \circ T: V \to Z$ 也是线性的。复合变换的矩阵是各个矩阵的乘积。

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8.2 导数矩阵 $D$ 与积分矩阵 $D^+$

作为线性变换的导数： 考虑次数 $\leq 2$ 的多项式 (维数为3的空间) 映到次数 $\leq 1$ 的多项式 (维数为2的空间).

三次多项式的基: $\{1, x, x^2\}$ 线性多项式的基: $\{1, x\}$

导数矩阵 $D$ (3列, 2行):

$$D = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$

因为 $\frac{d}{dx}(1) = 0$, $\frac{d}{dx}(x) = 1$, $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.

积分矩阵 $D^+$ (伪逆):

$$D^+ = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}$$

因为 $\int_0^x 1 \, dt = x$, $\int_0^x t \, dt = x^2/2$.

微积分基本定理： $D D^+ = I$ (积分的导数 = 恒等变换).

复合： $D^+ D$ = 到常数项为零的多项式子空间上的投影 (导数的积分丢失了常数项).

这种矩阵观点表明，积分和微分是相差一个投影的逆运算，这与微积分中完全一致。

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8.3 $V$ 的基与 $W$ 的基：$T: V \to W$ 的矩阵

线性变换 $T: V \to W$ 的矩阵表示 $A$ 依赖于基的选择：

• 为 $V$ 选择一组基 $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n$
• 为 $W$ 选择一组基 $\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_m$

$A$ 的第 $j$ 列给出了将 $T(\mathbf{v}_j)$ 用输出基表示时的系数：

$$T(\mathbf{v}_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} \mathbf{w}_i$$

应用变换： 对于用 $V$-基表示的任意 $x$, $Ax$ 给出了 $T(x)$ 在 $W$-基下的坐标.

基变换： 如果我们改变基，矩阵通过相似变换改变：

$$M = Y^{-1} A V$$

其中 $V$ 用旧基表示 $V$ 的新基向量，$Y$ 用旧基表示 $W$ 的新基。这就是基变换 —— 同一个线性变换，只是用不同的坐标来描述.

重要： 矩阵的大小取决于 $V$ 和 $W$ 的维数。矩阵的秩等于 $T$ 的像的维数 (秩-零化度定理).